Question

7．三角形ABC中，AB=2，AC=3，以BC为边向形外作等边三角形BCD，问角A为何值时，四边形ABCD面积最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 利用余弦定理，求出BC，表示出四边形ABCD面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答 解：设∠BAC=x，则根据余弦定理BC²=2²+3²-2×2×3×cosx=13-12cosx
于是S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}×2×3×$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（13-12cosx）=3sinx-3$\sqrt{3}$cosx+$\frac{13\sqrt{3}}{4}$=6sin（x-60°）+$\frac{13\sqrt{3}}{4}$．
所以当x为150°时最大，最大值为6+$\frac{13\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查余弦定理，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．