Question

19．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$．
（I）求A；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2$\sqrt{2}$，高线AH=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由和三角函数公式和正弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）可得MH=$\sqrt{5}$，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建系，由向量的数量积可得a的方程，解得a²=4，a=2，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，∴1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，
∴$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，∴$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，
∴$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2c}{b}$，∴由正弦定理可得$\frac{c}{bcosA}$=$\frac{2c}{b}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由题意和勾股定理可得MH=$\sqrt{A{M}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系，
并设C（a，0），则B（-a，0），其中a＞0，
则由题意可得A（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$），cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
又可得$\overrightarrow{AB}$=（-a-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（a-$\sqrt{5}$，-$\sqrt{3}$），
由数量积可得（-a-$\sqrt{5}$）（a-$\sqrt{5}$）+3=$\sqrt{（-a-\sqrt{5}）^{2}+3}$•$\sqrt{（a-\sqrt{5}）^{2}+3}$•$\frac{1}{2}$，
整理可得a⁴-20a²+64=0，故（a²-4）（a²-16）=0，解得a²=4或a²=1
经验证当a²=16时矛盾，应舍去，故a²=4，a=2，
故可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及向量的数量积和三角形的面积公式，建系是解决问题的关键，属中档题．