Question

16．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的取值范围是（　　）

• A． [6，4+4$\sqrt{3}$]
• B． [4$\sqrt{2}$，8]
• C． [4$\sqrt{3}$，8]
• D． [6，12]

Answer 1

分析 可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$，从而可设$P（x，\sqrt{3}x+2\sqrt{3}）$，且-2≤x≤0，从而可以求出向量$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$的坐标，从而得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}=16（{x}^{2}+2x+4）$，而配方即可求出函数y=16（x²+2x+4）在[-2，0]上的值域，即得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}$的取值范围，从而得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|$的取值范围．

解答 解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；
根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=$2\sqrt{3}$；
∴$A（-2，0），B（6，0），D（0，2\sqrt{3}）$；
∴直线AD方程为：$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$；
∴设$P（x，\sqrt{3}x+2\sqrt{3}）$，（-2≤x≤0）；
∴$\overrightarrow{PA}=（-2-x，-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PB}=（6-x，-\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=（4-2x，-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}）$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}=（4-2x）^{2}+（-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}）^{2}$
=16（x²+2x+4）
=16（x+1）²+48；
∵-2≤x≤0；
∴48≤16（x+1）²+48≤64；
即$48≤（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）^{2}≤64$；
∴$4\sqrt{3}≤|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|≤8$；
∴$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}|$的范围为$[4\sqrt{3}，8]$．
故选：C．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，能根据条件求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，直线的点斜式方程，以及直线上点的坐标的设法，向量坐标的加法运算，以及向量数量积的坐标运算，配方求二次函数在闭区间上的值域的方法．