Question

16．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是$\sqrt{3}$，则双曲线C的方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{\sqrt{3}}$-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由题意可得c-a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=$\sqrt{3}$，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，
可得c-a=1，
由双曲线的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则焦点（c，0）到渐近线的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
又c²-a²=b²=3，
解得a=1，c=2，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．