Question

8．设△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设|AB|=2c，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，可求得该双曲线的实轴长2a=|CA|-|CB|的值，从而可求得其离心率．

解答 解：设|AB|=2c，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴|CA|=$\sqrt{2}$•（2c）=2$\sqrt{2}$c，|CB|=2c，
∴由双曲线的定义可得，
该双曲线的实轴长2a=|CA|-|CB|=（2$\sqrt{2}$-2）c，
∴双曲线的离心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2c}{（2\sqrt{2}-2）c}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，建立适当的坐标系，得到实轴长与焦距是关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．