Question

18．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l₁，l₂，过点F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|=3，|OB|=5，则双曲线的离心率e为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 运用勾股定理，可得|AB|=4，设出直线l₁：y=$\frac{b}{a}$x，直线l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，由直线l₁到直线l₂的角的正切公式，可得tan∠AOB=$\frac{-\frac{b}{a}-\frac{b}{a}}{1+（-\frac{b}{a}）•\frac{b}{a}}$=$\frac{4}{3}$，求得b=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，
可得|AB|=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
可得tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{4}{3}$，
由直线l₁：y=$\frac{b}{a}$x，直线l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
由直线l₁到直线l₂的角的正切公式，可得
tan∠AOB=$\frac{-\frac{b}{a}-\frac{b}{a}}{1+（-\frac{b}{a}）•\frac{b}{a}}$=$\frac{4}{3}$，
化简可得b=2a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用解直角三角形和两直线的到角公式，考查运算能力，属于中档题．