Question

13．对于双曲线C_（a，b）：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＜1，则称P在的C_（a，b）外部；若
若点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＞1，则称P在的C_（a，b）内部：
（1）证明：直线3x-y+1=0上的点都在C_（1，1）的外部；
（2）若点M的坐标为（0，-1），点N在C_（1，1）的内部或C_（1，1）上，求|$\overrightarrow{MN}$|的最小值；
（3）若C_（a，b）经过点（2，1），圆x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）内部及C_（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线y=3x+1上点P（x₀，3x₀+1），求出x₀²-y₀²关于x₀的二次函数，求得最大值，证明小于1即可；
（2）由题意可得x₀²-y₀²≥1，即x₀²≥y₀²+1，运用两点的距离公式，配方即可得到MN的最小值；
（3）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为$\sqrt{2}$r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围

解答 解：（1）证明：设直线y=3x+1上点P（x₀，3x₀+1），
即有x₀²-y₀²=x₀²-（3x₀+1）²=-8x₀²-6x₀-1
=-8（x₀+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{1}{8}$，
当x₀=-$\frac{3}{8}$时，取得最大值$\frac{1}{8}$，
即点P（x₀，y₀）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＜1，
故直线3x-y+1=0上的点都在C_（1，1）的外部；
（2）点N（x₀，y₀）在C_（1，1）的内部或C_（1，1）上，
可得x₀²-y₀²≥1，即x₀²≥y₀²+1，
|MN|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}+1）^{2}}$≥$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+1+（{y}_{0}+1）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+{y}_{0}+1}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{y}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
当y₀=-$\frac{1}{2}$时，|MN|取得最小值，且为$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）若C_（a，b）过点（2，1），可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
即为a²=$\frac{4{b}^{2}}{1+{b}^{2}}$，
由圆和双曲线的相交的弦长相等，
弦所对的圆周角均为90°，且均为$\sqrt{2}$r，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{{b}^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得y=±$\frac{b\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}}{c}$，
可得$\sqrt{2}$r=$\frac{2b\sqrt{{r}^{2}-{a}^{2}}}{c}$，
化简可得r²=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{2{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{8{b}^{4}}{{b}^{2}（{b}^{2}-3）}$=$\frac{8{b}^{2}}{{b}^{2}-3}$，
令b²-3=t（t＞0），则r²=$\frac{8（t+3）}{t}$＞8，
即有r＞2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想，考查二次函数的最值的求法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．