Question

1．以双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的范围是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• B． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）
• C． $（\sqrt{6}+\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（1，\sqrt{6}+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，可得MF垂直于x轴，由△MPQ为锐角三角形，可得∠PMQ为锐角，即0＜$\frac{1}{2}$∠PMQ＜$\frac{π}{4}$，设M的坐标为（c，y），则由题意y＞c＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，利用点在双曲线上，代入双曲线方程，解得y，代入不等式，结合离心率公式，解不等式可得所求范围．

解答 解：M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，
可得MF垂直于x轴，由△MPQ为锐角三角形，
可得∠PMQ为锐角，即0＜$\frac{1}{2}$∠PMQ＜$\frac{π}{4}$，
设M的坐标为（c，y），y＞0，
可得y＞c＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，
∴y²＞c²＞$\frac{1}{2}$y²，
∵$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
∴c²＜b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）＜2c²，
∴c²＜（c²-a²）（$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$）＜2c²，
∴e²＜（e²-1）²＜2e²，
即e＜e²-1＜$\sqrt{2}$e，
∴$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，主要是离心率的范围，注意运用三角形为锐角三角形的条件，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．