Question

16．已知A₁，A₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，以线段A₁A₂为直径的圆与双曲线C的渐近线的一个交点为（1，$\sqrt{3}$），则C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，点（1，$\sqrt{3}$）到原点的距离为半径，可得a=2．由点（1，$\sqrt{3}$）在双曲线的渐近线上，得到$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，两式联解得出a=2，b=2$\sqrt{3}$，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：∵点（1，$\sqrt{3}$）在以|A₁A₂|为直径的圆上，
∴a=$\sqrt{1+3}$=2，①
又∵点（1，$\sqrt{3}$）在双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x上，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$②，
①②联解，得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
可得双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和圆的定义，考查运算能力，属于基础题．