Question

11．已知双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为$y=±\sqrt{2}x$，抛物线N的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，点E（2，2）为双曲线M与抛物线N的一个公共点．
（Ⅰ）求双曲线M与抛物线N的方程；
（Ⅱ） 过抛物线N的焦点F作两条相互垂直的直线l₁，l₂，与抛物线分别交于点A、B，C、D．
（ⅰ）若直线EA与直线EB的倾斜角互补（点A，B不同于E点），求直线l₁的斜率；
（ⅱ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出双曲线的渐近线方程可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，代入（2，2），解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），代入（2，2），解方程可得p，进而得到抛物线的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线的方程，运用作差法和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值；
（ⅱ）假设存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．设直线直线l₁的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{2}$）．联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可判断存在性．

解答 解：（Ⅰ）由双曲线M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，代入（2，2）可得$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
即有双曲线M的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
代入（2，2）可得4=4p，解得p=1，
即有抛物线N的方程为y²=2x；
（Ⅱ）（ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{1}{2}$y₁²=x₁，$\frac{1}{2}$y₂²=x₂，
由直线EA与直线EB的倾斜角互补，可得
k_EA+k_EB=0，即有$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-2}$=0，
即有$\frac{2}{{y}_{1}+2}$+$\frac{2}{{y}_{2}+2}$=0，可得y₁+y₂=-4，
即有直线l₁的斜率为$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）假设存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
设直线直线l₁的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得k²x²-（k²+2）x+$\frac{1}{4}$k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p═$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+1=$\frac{2+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=2k²+2，
即有λ=$\frac{|AB|+|CD|}{|AB|•|CD|}$=$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+2}$+$\frac{1}{2{k}^{2}+2}$=$\frac{1}{2}$．
故存在常数λ=$\frac{1}{2}$，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用待定系数法求方程，考查抛物线的方程的运用，联立直线方程运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．