Question

1．正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为$\frac{9\sqrt{7}}{2}$cm²．

Answer 1

分析 作出正六棱台的一部分，侧面ABB₁A₁为等腰梯形，OO₁为高且OO₁=1cm，AB=1cm，A₁B₁=2cm．取AB和A₁B₁的中点C，C₁，连接OC，CC₁，O₁C₁，则C₁C为正六棱台的斜高，且四边形OO₁C₁C为直角梯形．根据正六棱台的性质求出OC，O₁C₁，CC₁和上、下底面周长，由此能求出正六棱台的侧面积．

解答 解：如图所示，是正六棱台的一部分
侧面ABB₁A₁为等腰梯形，OO₁为高且OO₁=1cm，AB=1cm，A₁B₁=2cm．
取AB和A₁B₁的中点C，C₁，连接OC，CC₁，O₁C₁，
则C₁C为正六棱台的斜高，且四边形OO₁C₁C为直角梯形．
根据正六棱台的性质得OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}cm$，O₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}{A}_{1}{B}_{1}$=$\sqrt{3}cm$，
∴CC₁=$\sqrt{O{{O}_{1}}^{2}+（{O}_{1}{C}_{1}-OC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}cm$．
又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A₁B₁=12cm．
∴正六棱台的侧面积：
S=$\frac{1}{2}（c+{c}^{'}）{h}^{'}$．
=$\frac{1}{2}（6+12）×\frac{\sqrt{7}}{2}$
=$\frac{9\sqrt{7}}{2}$（cm²）
故答案为：$\frac{{9\sqrt{7}}}{2}$cm²．

点评 本题考查正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．