Question

13．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别l₁，l₂，右焦点F．若点F关于直线l₁的对称点M在l₂上则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 不妨设l₁为y=$\frac{b}{a}$x，l₂为y=-$\frac{b}{a}$x，设出对称点的坐标，根据中点坐标公式和斜率公式即可求出a与b的关系，再根据离心率公式即可求出．

解答 解：l₁，l₂分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线，
不妨设l₁为y=$\frac{b}{a}$x，l₂为y=-$\frac{b}{a}$x，
由右焦点关于l₁的对称点l₂在上，
设右焦点F关于l₁的对称点为M（m，-$\frac{bm}{a}$），
右焦点F坐标为（c，0），
MF中点坐标为（$\frac{m+c}{2}$，-$\frac{bm}{2a}$），
可得-$\frac{bm}{2a}$=$\frac{m+c}{2}$•$\frac{b}{a}$，
解得m=-$\frac{1}{2}$c，
即有M（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{bc}{2a}$），
可得MF的斜率为$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{1}{2}c-c}$=-$\frac{b}{3a}$，
即有-$\frac{b}{3a}$•$\frac{b}{a}$=-1，
可得b²=3a²，
即c²=a²+b²=4a²，
则c=2a，
可得e=$\frac{c}{a}$=2，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，以及点的对称问题，考查运算能力，属于中档题．