Question

5．设F₁、F₂分别为双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的左、右焦点，P为双曲线C在第一象限上的一点，若$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}=\frac{4}{3}$，则△PF₁F₂内切圆的面积为4π．

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，结合条件可得|PF₁|=8，|PF₂|=6．可得△PF₁F₂为直角三角形，设内切圆的半径为r，运用面积相等，解方程可得r=2，即可得到所求面积．

解答 解：双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的a=1，b=2$\sqrt{6}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
又$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}=\frac{4}{3}$，
解得|PF₁|=8，|PF₂|=6．
|F₁F₂|=2c=10，
即有8²+6²=10²，
可得△PF₁F₂为直角三角形，
设内切圆的半径为r，可得
$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，
即有r（8+6+10）=8×6，
解得r=2，
可得内切圆的面积为4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查三角形的内切圆的面积，注意运用等积法，判断△PF₁F₂为直角三角形是解题的关键，同时考查双曲线的定义，属于中档题．