Question

6．已知，点P（x，y）的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y≤6}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$设A（2，0），则|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值为1．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积得|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP=x，再利用z的几何意义求最值．

解答 解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP=$\frac{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OA}|cos∠AOP}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{（2，0）•（x，y）}{2}$═$\frac{2x}{2}=x$，
令z=x，
平移直线x=z，
由图形可知，当直线经过可行域中的点A时，x最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=6}\end{array}\right.$，解得x=5，y=1，
所以|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础．