Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+a_ncosnπ=1，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₀₀=1300．

Answer 1

分析 通过余弦函数的性质可知a_2n+1-a_2n-1=1、a_2n+2+a_2n=1，进而可知a_2n-1=n，利用S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₇+a₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）]计算即得结论．

解答 解：∵cosnπ=$\left\{\begin{array}{l}{-1，}&{n为奇数}\\{1，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
∴a_2n+1-a_2n-1=1，a_2n+2+a_2n=1，
又∵a₁=1，
∴数列{a_2n-1}是首项、公差均为1的等差数列，
∴a_2n-1=n，
∴S₁₀₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉₇+a₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）]
=$\frac{50（1+50）}{2}$+25
=1300，
故答案为：1300．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．