Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…），数列{b_n}的通项为b_n=a_n+n²（n∈N^*）．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…）化简$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$即得结论；
（2）通过a₁=1，计算可知数列{b_n}是首项、公比均为2的等比数列，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）证明：∵b_n=a_n+n²（n∈N^*），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n=2，3，…），
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}+（n+1）^{2}}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=$\frac{2{a}_{n}+（n+1）^{2}-4（n+1）+2+（n+1）^{2}}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=2$\frac{{a}_{n}+（n+1）^{2}-2（n+1）+1}{{a}_{n}+{n}^{2}}$=2，
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列；
（2）解：∵a₁=1，
∴b₁=a₁+1²=2，
∴数列{b_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．