Question

6．在△ABC中存在一点O，满足∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO．求证：AB²=BC•AC．

Answer 1

分析 根据已知条件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}$∠BAC，得到OA=OC，
设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，由正弦定理得：$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}=\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}=\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，两列相比得到：$si{n}^{2}\frac{1}{2}α$=sin（β-$\frac{1}{2}$α）•sin（γ-$\frac{1}{2}$α），化简后即可得到结论．

解答 证明：根据已知条件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴OA=OC，
设∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，
由正弦定理得：$\frac{OA}{sin（β-\frac{1}{2}α）}=\frac{BO}{sin\frac{1}{2}α}$，
$\frac{CO}{sin\frac{1}{2}α}=\frac{BO}{sin（γ-\frac{1}{2}α）}$，
两列相比得到：$si{n}^{2}\frac{1}{2}α$=sin（β-$\frac{1}{2}$α）•sin（γ-$\frac{1}{2}$α），
∴1-cosα=cos（β-γ）-cos（β+γ-α），1+cos（β+γ-α）=cos（β-γ）+cosα．
∵β+γ-α=180°-2α，
∴2sin²α=2sinβsinγ，
∴BC²=AC•AB．

点评 本题考查了三角形的内角和，正弦定理，三角函数，正确掌握正弦定理是解题的关键．