Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线截圆（x-2）²+y²=3所得的弦长等于2$\sqrt{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由圆（x-2）²+y²=3可得圆心（2，0），半径为$\sqrt{3}$，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由弦长公式可得2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3-{d}^{2}}$，
可得圆心到直线$y=\frac{b}{a}x$的距离等于1，
故$d=\frac{2b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=1$，
即c=2b，可得$a=\sqrt{{c^2}-{b^2}}=\sqrt{3}b$，
即有$e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{{\sqrt{3}b}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到值的距离公式，考查运算能力，属于中档题．