Question

5．设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到b_nb_n-1+b_nb_n+1+2$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}{b}_{n}{b}_{n+1}}$=4b_n•b_n，由此能证明数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列；
（2）由已知条件推导出$\sqrt{{b}_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），由此能求出{a_n}和{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）证明：a_n+a_n+1=2b_n，①
b_nb_n+1=a_n+1²，②
②式两边开方得：a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\sqrt{{b}_{n}}$•$\sqrt{{b}_{n}}$，③
①式两边平方，展开，然后将③代入，得：
b_nb_n-1+b_nb_n+1+2$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}{b}_{n}{b}_{n+1}}$=4b_n•b_n，④
整理，得$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$=2$\sqrt{{b}_{n}}$，
∴数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}是等差数列．
（2）∵a₁=1，a₂=3，b₁=2，且a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴b₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{9}{2}$，$\sqrt{{b}_{2}}$-$\sqrt{{b}_{1}}$=$\sqrt{\frac{9}{2}}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n+1），
∴b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）²，
∵a_n+1²=b_n•b_n+1，
∴a_n=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n-1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{n}^{2}•\frac{1}{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．