Question

14．已知x，y∈R，且$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-3y≥0\\ y≥0\end{array}$，则存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0的概率为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{8}$
• C． $2-\frac{π}{4}$
• D． $1-\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求解（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，
若存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立，
则$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$（$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$cosθ+$\frac{y}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$sinθ）=-$\sqrt{2}$，
令sinα=$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，则cosα=$\frac{x-4}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，
则方程等价为$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$sin（α+θ）=-$\sqrt{2}$，
即sin（α+θ）=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$，
∵存在θ∈R，使得（x-4）cosθ+ysinθ+$\sqrt{2}$=0成立，
∴|-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$|≤1，即$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$≥$\sqrt{2}$，
即（x-4）²+y²≥2
则对应的区域在（4，0）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的外部，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-3y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），
A也在圆上，则三角形OAC的面积S=$\frac{1}{2}×4$×1=2，
直线x+y=4的倾斜角为$\frac{3π}{4}$，
则∠ACB=$\frac{π}{4}$，即扇形的面积为S=$\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}×\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
则P（x，y）构成的区域面积为S=2-$\frac{π}{4}$，
则对应的概率P=$\frac{2-\frac{π}{4}}{2}$=$1-\frac{π}{8}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划和几何概型的概率的计算，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．难度较大．