Question

8．已知抛物线x²=8y与双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，求出抛物线的准线方程，由点到直线的距离公式，计算结合离心率公式即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程设为y=$\frac{a}{b}$x，
代入抛物线x²=8y，可得x=$\frac{8a}{b}$，y=$\frac{8{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
抛物线x²=8y的准线为y=-2，
由题意可得$\frac{8{a}^{2}}{{b}^{2}}$+2=4，
即有b=2a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和抛物线的性质，考查运算能力，属于中档题．