Question

6．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{2}^{2}}$=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₁=60°，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得F₂（$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），F₁ （-$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂=16，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：由题意可得F₂（$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），F₁ （-$\sqrt{{a}^{2}+4}$，0），
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得 
F₁F₂²=16+4a²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=4a²+PF₁•PF₂，
即有PF₁•PF₂=16．
可得S_△${\;}_{P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用三角形的余弦定理和面积公式，同时考查双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．