Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 3
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得F（c，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得A（a，b），求得直线AF的斜率，由对称思想可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F（c，0），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
令x=a，可得A（a，b），
可得直线AF的方程为y=$\frac{b}{a-c}$（x-c），
由于直线y=b经过A，且斜率为0，
由对称性可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．
即有$\frac{b}{a}$=-$\frac{b}{a-c}$，
即为a=c-a，可得c=2a，
离心率e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线关于直线对称的思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．