Question

8．已知等比数列{a_n}的前n项为和S_n，且a₃-2a₂=0，S₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的通项公式，利用错位相减法求出前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}-2{a}_{1}q=0}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\end{array}\right.$（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，（5分）
所以${a_n}={2^{n-1}}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$\frac{n}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
所以${T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，①（7分）
所以$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，②（8分）
①-②得，$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$（10分）
=$\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}$=$2-\frac{n+2}{2^n}$．（11分）
所以${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．（12分）．

点评 本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．