Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₁作圆x²+y²=a²的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线的斜率为（　　）

• A． ±2
• B． ±$\sqrt{5}$
• C． ±3
• D． ±5

Answer 1

分析 由双曲线的定义可得|BF₁|-|BF₂|=2a，结合条件可得|AF₁|=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率．

解答 解：由双曲线的定义可得，
|BF₁|-|BF₂|=2a，
由|AB|=|BF₂|，|BF₁|=|AB|+|AF₁|，
可得|AF₁|=2a，
由点F₁作圆x²+y²=a²的切线，可得：
|OF₁|²=|OA|²+|AF₁|²，
即有c²=a²+（2a）²=5a²，
可得b²=c²-a²=4a²，
即b=2a，
即有渐近线的斜率为±$\frac{b}{a}$=±2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．