Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为e，则“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 运用双曲线的离心率公式，结合a，b，c的关系，由充分必要条件的定义，以及不等式的性质，即可得到结论．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$，
若e＞$\sqrt{2}$，即$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$＞1，解得0＜a＜2．
由0＜a＜2，推不到0＜a＜1；
由0＜a＜1，可得e=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
由充分必要条件的定义，可得
“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查充分必要条件的判断，注意运用双曲线的离心率公式，考查运算能力，属于基础题．