Question

2．已知F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点，过点F₂作渐近线的垂线，垂足为点A，若$\overrightarrow{{F_2}A}=2\overrightarrow{AB}$，且点B在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（　　）

• A． $（\sqrt{5}，+∞）$
• B． （2，+∞）
• C． （1，2）
• D． $（1，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，求得与渐近线垂直的直线方程，联立方程解得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得B的坐标，运用点在圆内的条件可得|BF₁|＜c，化简整理，运用离心率公式即可得到所求范围．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
过点F₂与渐近线垂直的直线方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
设B（m，n），由$\overrightarrow{{F_2}A}=2\overrightarrow{AB}$，可得（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）=2（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$），
可得m=$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$，n=$\frac{3ab}{2c}$，即B（$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$，$\frac{3ab}{2c}$），
由点B在以F₁为圆心，|OF₁|为半径的圆内，
可得|BF₁|＜c，可得（$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$+c）²+（$\frac{3ab}{2c}$）²＜c²，
化为$\frac{9{a}^{4}+9{a}^{2}{b}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{3}{2}$a²＜$\frac{3}{4}$c²，即为$\frac{9{a}^{2}}{4}$+$\frac{3}{2}$a²＜$\frac{3}{4}$c²，即c²＞5a²，由e=$\frac{c}{a}$，可得e＞$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用渐近线方程求得交点，以及向量共线的坐标表示，考查点与圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．