Question

4．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线AB过F点与抛物线C交抛物线于A、B两点，且AB=6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则|OP|=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．

解答 解：∵抛物线y²=4x，∴p=2，
设经过点F的直线y=k（x-1）与抛物线相交于A、B两点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线y=k（x-1）代入y²=4x，整理可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
利用抛物线定义，AB中点横坐标为x₁+x₂=|AB|-p=6-2=4．AB中点横坐标为2
∴2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，∴k=±$\sqrt{2}$
AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
∴|OP|=4．
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．