Question

9．已知M（x₀，y₀）是曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{MN}$＜0，则x₀的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 由题意可设M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），（x₀≠0），求得N的坐标，求出抛物线的焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由题意可设M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），（x₀≠0），
由题意可得N（x₀，0），
又抛物线x²=2y的焦点F（0，$\frac{1}{2}$），
即有$\overrightarrow{MF}$=（-x₀，$\frac{1}{2}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），
由$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{MN}$＜0，即为（$\frac{1}{2}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$）•（-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$）＜0，
即有x₀²＜1且x₀≠0），
解得-1＜x₀＜0且0＜x₀＜1．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．