Question

20．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（　　）

• A． 3x²-y²=1
• B． $\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1
• C． x²-3y²=1
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 对照选项，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
一个焦点（c，0）到一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为1，
可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=1，
又c²=a²+1，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}$-y²=1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查双曲线的渐近线方程和离心率，考查运算能力，属于基础题．