Question

20．设函数f₁（x）=x²，f₂（x）=$\frac{3}{x+1}$，f₃（x）=sinπx，x_i=$\frac{i}{9}$（i=0，1，2，…，9），记I_k=$\sum_{i=1}^{9}$|f_k（x_i）-f_k（x_i-1）|，则（　　）

• A． I₁＜I₂＜I₃
• B． I₂＜I₁＜I₃
• C． I₃＜I₂＜I₁
• D． I₁＜I₃＜I₂

Answer 1

分析 根据记I_k=|f_k（x₁）-f_k（x₀）|+|f_k（x₂）-f_k（x₁）丨+…+|f_k（x₉）-f_k（x₈）|，分别求出I₁，I₂，I₃与1的关系，继而得到答案．

解答 解：f₁（x）=x²，在（0，1）是单调增函数，|f₁（x_i）-f₁（x_i-1）|=f₁（x_i）-f₁（x_i-1），
I₁=|f₁（x₁）-f₁（x₀）|+|f₁（x₂）-f₁（x₁）丨+…+|f₁（x₉）-f_k（x₈）|，
=f₁（x₁）-f₁（x₀）+f₁（x₂）-f₁（x₁）+…+f₁（x₉）-f₁（x₈），
=f₁（x₉）-f₁（x₀），
=f₁（1）-f₁（0），
=1；
f₂（x）=$\frac{3}{x+1}$，在（0，1）是单调减函数，|f₁（x_i）-f₁（x_i-1）|=f₁（x_i-1）-f₁（x_i），
I₂=|f₂（x₁）-f₂（x₀）|+|f₂（x₂）-f₂（x₁）丨+…+|f₂（x₉）-f₂（x₈）|，
=f₁（x₀）-f₁（x₉），
=$\frac{3}{2}$；
f₃（x）=sinπx，在（0，$\frac{1}{2}$）单调递增，在（$\frac{1}{2}$，1）单调递增，且图象关于x=$\frac{1}{2}$对称，
I₃=|f₃（x₁）-f₃（x₀）|+|f₃（x₂）-f₃（x₁）丨+…+|f₃（x₉）-f₃（x₈）|，
=f₃（x₁）-f₃（x₀）+f₃（x₂）-f₃（x₁）+…+f₃（x₅）-f₃（x₄）+f₃（x₅）-f₃（x₆）+…+f₃（x₇）-f₃（x₉）+f₃（x₈）-f₃（x₉），
=f₃（x₅）-f₃（x₀）+f₃（x₅）-f₃（x₉），
=2．
故答案为：A．

点评 本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．