Question

5．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3．

Answer 1

分析 求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx-ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
可得直线l的方程为y=$\frac{b}{a}$x+3b，即bx-ay+3ab=0，
由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，
可得直线l与bx-ay=0的距离恒大于等于b，
即有$\frac{3ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≥b，
化简可得8a²≥b²，
8a²≥c²-a²，
即c²≤9a²，即有c≤3a，
可得离心率e=$\frac{c}{a}$≤3．
则离心率的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的离心率的最大值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的渐近线的方程的灵活运用，考查点到直线的距离公式，以及运算能力．