Question

15．设对任意实数x＞y＞0，若不等式x+2$\sqrt{xy}$＞ay恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，3）
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 分离参数，再利用换元法，确定函数的最小值，从而可求实数a的最大值．

解答 解：对任意实数x＞y＞0，若不等式x+2$\sqrt{xy}$＞ay恒成立，
∴a＜$\frac{x}{y}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}}$=（$\sqrt{\frac{x}{y}}$+1）²-1
∵$\frac{x}{y}$＞1
∴（$\sqrt{\frac{x}{y}}$+1）²-1＞（1+1）²-1=3，
∴a≤3，
故选：D．

点评 本题考查函数的最值问题的应用，考查恒成立的问题，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．