Question

3．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）AB=AA₁=2，求三棱锥B₁-A₁BD的体积．

Answer 1

分析 （1）由△ABD为等边三角形可得AB=AD，故△ABC≌△ADC，得出AC平分∠BAD，故AC⊥BD，由A₁A⊥平面ABCD得A₁A⊥BD，故BD⊥平面ACC₁A₁，于是平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）取AB的中点M，连结DM，则可证DM⊥平面ABB₁A₁，故而V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{D-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}•DM$．

解答 证明：（1）∵AB=BD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形
∴AB=AD，又BC=CD，AC为公共边，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，即AC为∠BAD的平分线，
∴AC⊥BD．
∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，又A₁A?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，∵BD?平面A₁BD，
∴平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．
（2）取AB的中点M，连结DM，
∵△ABD是等边三角形，AB=2，∴DM⊥AB，DM=$\sqrt{3}$．
∵A₁A⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，
∴A₁A⊥DM，又A₁A?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，A₁A∩AB=A，
∴DM⊥平面ABB₁A₁，
∴V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{D-{A}_{1}{B}_{1}B}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}•DM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．