Question

11．已知双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，直线y=$\sqrt{3}$（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 由已知直线过左焦点F₁，且其倾斜角为60°，∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°，即F₁M⊥F₂M，运用直角三角形的性质和双曲线的定义，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：∵直线y=$\sqrt{3}$（x+c）过左焦点F₁，且其倾斜角为60°，
∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₁F₂=60°，∠MF₂F₁=30°．
∴∠F₁MF₂=90°，即F₁M⊥F₂M．
∴|MF₁|=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}|=c$，|MF₂|=$|{F_1}{F_2}|sin{60^0}=\sqrt{3}c$，
由双曲线的定义有：|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{3}c-c$=2a，
∴离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{3}c-c}}{2}}}=\sqrt{3}+1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．