Question

1．如图：抛物线y²=x与直线x=ty-1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为C，则直线AC在x轴上的截距（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． 不是定值，与t的值相关

Answer 1

分析 将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根与系数的关系，确定直线AC的方程，令y=0，从而解决问题．

解答 解：直线x=ty-1代入抛物线方程y²=x得：y²-ty+1=0，
设点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
则y_Ay_B=1，
B点关于x轴的对称点为C（x_B，-y_B），
直线AC的方程为：y-y_B=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$（x-x_B），
令y=0得：x=x_B+$\frac{{x}_{A}-{x}_{B}}{{y}_{A}+{y}_{B}}$×（-y_B）=x_B+1×（-y_B²+y_Ay_B）=y_Ay_B=1，
即直线AC在x轴上的截距为1．
故选：A．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与抛物线的位置关系，韦达定理等相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．