Question

6．已知抛物线x²=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）为抛物线上的两个动点，其中y₁=y₂且y₁+y₂=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）x-y-1=0，可得y=x-1，代入x²=2py，可得x²-2px+2p=0，利用△=0，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S_△ABC，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．

解答 解：（1）由x-y-1=0，可得y=x-1，
代入x²=2py，可得x²-2px+2p=0，
∵抛物线x²=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0，
∴△=4p²-8p=0，
∴p=2，
∴抛物线的方程x²=4y；
（2）设线段AB的中点为M（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=2，∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-$\frac{2}{{x}_{0}}$（x-x₀）．
令x=0，得y=4，故C（0，4）为定点．
又直线AB的方程为y-2=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），与x²=4y联立，消去y得x²-2x₀x+2x₀²-8=0．
由韦达定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2x₀²-8．
直线AB的方程令x=0，得y=2-$\frac{1}{2}$x₀²，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|2-$\frac{1}{2}$x₀²-4|•$\sqrt{32-4{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（4+{{x}_{0}}^{2}）^{2}（8-{{x}_{0}}^{2}）}$
令t=4+x₀²（12＞t＞4），则8-x₀²=12-t
设f（t）=t²（12-t）=-t³+12t²，∴f′（t）=-3t（t-8）
当4＜t＜8时，f′（t）＞0；当12＞t＞8时，f′（t）＜0．
∴f（t）在（4，8）上单调递增，在（8，12）上单调递减．
∴当t=8时，[f（t）]_max=8²×4．故△ABC面积的最大值为8．

点评 本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算及最值的求解，属于中档题．