Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线为x+$\sqrt{2}$y=0，点M在双曲线上，且MF₁⊥x轴，若F₂同时为抛物线y²=12x的焦点，则F₁到直线F₂M的距离为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{6}}}{5}$
• B． $\frac{{5\sqrt{6}}}{6}$
• C． $\frac{5}{6}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线的方程，可得a=$\sqrt{2}$b，由抛物线的焦点坐标，可得c=3，即a²+b²=9，解得a，b，可得双曲线的方程，求得M的坐标和直线MF₂的方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又抛物线y²=12x的焦点为（3，0），
即有c=3，即a²+b²=9，
解得b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{6}$，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
令x=-3，可得y=±3$\sqrt{\frac{9}{6}-1}$=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可设M（-3，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
直线MF₂的方程为y=-$\frac{\sqrt{6}}{12}$x+$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
可得F₁到直线F₂M的距离为$\frac{|-\frac{\sqrt{6}}{12}×（-3）+\frac{\sqrt{6}}{4}|}{\sqrt{1+\frac{6}{144}}}$=$\frac{6}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于中档题．