Question

4．已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α＜2π），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）当a=0时，求直线l和圆C交点的直角坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l与圆C交于P、Q两点，若Q间的劣弧长为$\frac{8π}{3}$，求直线l的极坐标方程．

Answer 1

分析 （I）将曲线C化成普通方程，将直线l的参数方程代入圆的普通方程得出参数的值，即可求出交点的坐标；
（II）根据弧长计算圆心角，得出圆心到直线的距离．列出方程解出a，再将直线方程化成极坐标方程．

解答 解：（I）圆C的普通方程为x²+y²=16，
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2t}\\{y=2\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入圆C的普通方程得：
16t²=16，∴t=1或-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线l和圆C交点的直角坐标为（-2，2$\sqrt{3}$），（2，-2$\sqrt{3}$）．
（II）∵$\widehat{PQ}$=$\frac{8π}{3}$，圆C的半径为4，∴∠PCQ=$\frac{2π}{3}$．
∴圆心C到直线l的距离为$\frac{1}{2}PC$=2．
∵直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$a=0，
∴$\frac{|\sqrt{3}a|}{2}$=2．解得a=±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x+y-4=0，或$\sqrt{3}$x+y+4=0，
∴直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ$+ρsinθ-4=0或$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ+4=0．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．