Question

14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示；
（1）求ω，φ；
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（$\frac{π}{3}$，0），求θ的最小值．
（3）对任意的x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得θ的最小正值．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，结合函数f（x）的图象，求得m的取值范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}-（-\frac{π}{3}）$，
求得ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{3}$，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）=2sin[2（x+θ）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2θ-$\frac{π}{3}$）的图象，
∵y=g（x）图象的一个对称点为（$\frac{π}{3}$，0），∴2•$\frac{π}{3}$+2θ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，故θ的最小正值为$\frac{π}{3}$．
（3）对任意的x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∵方程f（x）=m有两个不等根，结合函数f（x），x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]时的图象可得，1≤m＜2．

点评 本题主要考查用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．