Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow m=（5a-4c，4b）$与$\overrightarrow n=（cosB，-cosC）$互相垂直．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若$c=5，b=\sqrt{10}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （I）利用向量垂直与数量积的关系可得：（5a-4c）cosB-4bcosC=0，再利用正弦定理、和差公式即可得出；
（II）利用余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，∴（5a-4c）cosB-4bcosC=0，
∴（5sinA-4sinC）cosB=4sinBcosC，
∴5sinAcosB=4（sinBcosC+cosBsinC）=4sin（B+C）=4sinA，
而sinA≠0，∴$cosB=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由余弦定理得，$10=25+{a^2}-2×5×a×\frac{4}{5}$，
化简得，a²-8a+15=0，
解得，a=3或a=5，
而$c=5，sinB=\frac{3}{5}$，又$S=\frac{1}{2}casinB$，
故$S=\frac{1}{2}×5×3×\frac{3}{5}=\frac{9}{2}$或$S=\frac{1}{2}×5×5×\frac{3}{5}=\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．