Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求证：$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-2）•$\frac{n}{2^n}•{a_n}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿ•λ＜T_n+$\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=1+$\frac{3}{{a}_{n}}$，化简得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$），数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，
（2）{b_n}的通项公式${b}_{n}=\frac{2}{{2}^{n-1}}$，前n项和为T_n，T_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}$+2×$\frac{1}{{2}^{1}}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，采用乘以公比错位相减法，求得T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，当当n为偶数时，λ＜3，当n为奇数时，λ＞-2，
综上得：-2＜λ＜3．

解答 证明：（1）由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$＜0，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}}$=1+$\frac{3}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$），$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，
$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×$3^n-1=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
（2）${b}_{n}=\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=1×$\frac{1}{{2}^{0}}$+2×$\frac{1}{{2}^{1}}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
（-1）ⁿ•λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
当n为偶数时，则λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，λ＜3，
当n为奇数时，-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，-λ＜2，λ＞-2，
∴-2＜λ＜3．

点评 本题考查求等比数列的通项公式，采用乘以公比错位相减法，求前n项和，属于中档题．