Question

15．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的左右顶点分别为A₁，A₂，点P在双曲线C上，且直线PA₁的斜率的取值范围为[1，2]，那么直线PA₂的斜率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$]
• D． （-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 求得双曲线的顶点，设P（m，n），代入双曲线的方程，求得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+\sqrt{3}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-3}$=$\frac{1}{3}$，由已知斜率，即可得到所求的斜率．

解答 解：双曲线C的左右顶点分别为A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1，
即有n²=$\frac{{m}^{2}-3}{3}$，
可得k${\;}_{P{A}_{1}}$•k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{n}{m+\sqrt{3}}$•$\frac{n}{m-\sqrt{3}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-3}$=$\frac{1}{3}$，
由k${\;}_{P{A}_{1}}$∈[1，2]，
即有直线PA₂的斜率的取值范围为[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，注意点满足双曲线的方程，考查直线的斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．