Question

5．在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;，\;b＞0\;，\;c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}}）$中，已知c，a，b成等差数列，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由等差数列的中项的性质，可得b=2a-c，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：c，a，b成等差数列，可得
2a=c+b，即b=2a-c，
b²=c²-a²=（2a-c）²，
即为5a²=4ac，即c=$\frac{5}{4}$a，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等差数列的中项的性质，考查双曲线的基本量的关系，以及运算能力，属于基础题．