Question

19．已知A，B为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上两点，O为坐标原点，若△OAB是边长为c的等边三角形，且c²=a²+b²，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．

Answer 1

分析 运用对称性可得AB⊥x轴，求得A的坐标（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{c}{2}$），代入双曲线的方程，由a，b，c的关系，化简整理可得a=b，进而得到渐近线方程．

解答 解：由对称性可得AB⊥x轴，
△OAB是边长为c的等边三角形，可得
|AB|=c，设A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{c}{2}$），
代入双曲线的方程可得，
$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，由c²=a²+b²，
化简可得，3b⁴-2a²b²-a⁴=0，
可得a=b，
即有渐近线方程为y=±x．
故答案为：y=±x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用对称性判断AB⊥x轴，由点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．