Question

8．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=7，令b_n=a_n•a_n+1，{b_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，设c_n=a_2n-1+a_2n．
（1）求证：${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$；
（2）设{c_n}的前n项和为S_n，求$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$的值；
（3）设{c_n}前n项积为T_n，当$q=\frac{1}{2}$时，求n为何值时，T_n取到最大值．

Answer 1

分析 （1）通过b₁=a₁a₂=7可知b_n=7q^n-1，进而可知数列{a_2n-1}、{a_2n}分别是首项为1、7，公比均为q的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$，分q是否为1两种情况计算出前n项和公式，进而计算可得结论；
（3）通过（1）、化简可知T_n=${2}^{\frac{-（n-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}{2}}$，进而可得结论．

解答 （1）证明：依题意，b₁=a₁a₂=7，则b_n=7q^n-1，
∵q=$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{{a}_{n+1}a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，
∴数列{a_2n-1}、{a_2n}分别是首项为1、7，公比均为q的等比数列，
∴a_2n-1=q^n-1，a_2n=7q^n-1，
∴${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$；
（2）解：由（1）可知${c_n}=8•{q^{n-1}}，n∈N*$，
当q=1时，S_n=8n，此时$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0；
当q≠1时，S_n=8•$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-q}{8（1-{q}^{n}）}$，
此时当0＜q＜1时，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\frac{1-q}{8}$；当q＞1时，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=0；
综上所述，$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-q}{8}，}&{0＜q＜1}\\{0，}&{q≥1}\end{array}\right.$；
（3）解：由（1）可知T_n=8ⁿ•q^{0+1+2+…+（n-1）}=8ⁿ•${q}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
又∵$q=\frac{1}{2}$，
∴T_n=8ⁿ•${2}^{-\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{3n-\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{-（n-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}{2}}$，
∴当n=3或4时，T_n取到最大值．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．