Question

18．已知直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为2．

Answer 1

分析 求得直线x-$\sqrt{3}$y+2=0在x轴上的交点，可得c=2，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b=$\sqrt{3}$a，解方程可得a=1，进而得到实轴长2a．

解答 解：直线x-$\sqrt{3}$y+2=0过x轴上的交点为（-2，0），
由题意可得c=2，即a²+b²=4，
由直线x-$\sqrt{3}$y+2=0与双曲线的一条渐近线垂直，
可得-$\frac{b}{a}$•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=-1，
即为b=$\sqrt{3}$a，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的实轴长为2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的实轴长，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．