Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），且经过点（1，$\frac{3}{2}$）直线l：x+2y-8=0
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标；
（3）过点E（0，1）的直线m与椭圆C交于不同的两点A，B，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），O为坐标原点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义求出a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设与直线l：x+2y-8=0平行的直线方程为x+2y+m=0，与椭圆方程联立，利用判别式等于0求得m值，得到与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程，利用两平行线间的距离公式求点P到直线l的距离的最小值，进一步求得P点坐标；
（3）分类求解，当m的斜率不存在时，求得M（0，0），当直线m的斜率存在时，设出直线方程的斜截式，与椭圆方程联立，结合$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）求出M点的参数方程，消参后得答案．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），
∴左焦点F₁（-1，0），且经过点（1，$\frac{3}{2}$），
由椭圆的定义可知：2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}+\frac{3}{2}=4$，
∴a=2，又c=1，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设与直线l：x+2y-8=0平行的直线方程为x+2y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得4x²+2mx+m²-12=0．
由△=4m²-16（m²-12）=0，解得m=±4．
∴当m=-4时，直线x+2y-4=0与直线l：x+2y-8=0平行，且与直线切于第一象限，
此时切点P到直线l的距离的最小，最小值为$\frac{|-8-（-4）|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
方程4x²+2mx+m²-12=0化为4x²-8x+4=0，解得x=1，代入x+2y-4=0，得y=$\frac{3}{2}$．
∴切点P（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=0，此时A（$0，-\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{4}（0，0）=（0，0）$，即M（0，0）；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0．
△=64k²+32（3+4k²）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=$k•（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}）+2=\frac{6}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$=$\frac{1}{4}（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}，\frac{6}{3+4{k}^{2}}）=（-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}，\frac{3}{2（3+4{k}^{2}）}）$．
设M（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}}\\{y=\frac{3}{2（3+4{k}^{2}）}}\end{array}\right.$，消去k得：3x²+4y²-2y=0（y≥0）．
∴点M的轨迹方程为3x²+4y²-2y=0（y≥0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的位置关系及其应用，训练了利用参数法求曲线的轨迹方程，考查计算能力，是中档题．