Question

15．已知直线y=1-x与双曲线ax²+by²=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{3}}}{27}$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1-x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线ax²+by²=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为
y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
把y=1-x代入y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
可得A（$\frac{1}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），B（$\frac{1}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{-\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），
可得AB的中点M为（$\frac{1}{1+\frac{a}{b}}$，$\frac{\frac{a}{b}}{1+\frac{a}{b}}$）
由过原点和线段AB中点的直线的斜率为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即有k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$\frac{a}{b}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查直线的斜率的求法，注意运用联立直线方程求交点，运用中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．