已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程,(Ⅱ)已知曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosα}\\{y=rsinα}\end{array}\right.$.且曲线C1.C2的交点形成一正方形.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）已知曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosα}\\{y=rsinα}\end{array}\right.$（α为参数），且曲线C₁、C₂的交点形成一正方形，求该正方形的面积．

分析（I）根据同角三角函数的关系肖参数θ得出普通方程；
（II）根据曲线的对称性可知曲线交点在象限的角平分线上，求出交点坐标得出正方形的面积．

解答解：（I）曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）曲线C₂的普通方程为x²+y²=r²．
∵曲线C₁、C₂的交点形成一正方形，
∴两曲线的交点坐标在直线y=±x上．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=$±\frac{3}{2}$．
∴两曲线在第一象限内的交点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴曲线交点构成的正方形面积为S=4×（$\frac{3}{2}$）²=9．

点评本题考查了参数方程与普通方程的转化，曲线的交点坐标的求解，属于基础题．

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